Partícula en un anillo -- Primer acercamiento
Consideremos que tenemos una partícula de masa m confinada a moverse en una circunferencia de radio $r$ fijo. Por fijar la notación del problema supondremos que la circunferencia está en el plano $XY$.
Para este caso:
a) Piensa sobre la situación del problema, identifica los tipos de energía que tiene la partícula y las posibles condiciones que ha de satisfacer en su movimiento.
b) Escribe la ecuación de Schrödinger en coordenadas cartesianas. ¿Esta ecuación es separable?
c) Desde el punto de vista clásico este es un movimiento circular en el plano con lo que sería adecuado traducir el problema de coordenadas cartesianas a coordenadas polares. Escribe la Ec. de Schrödinger en polares.
d) ¿Se puede llegar a escribir la ecuación de esta forma?
$$-\dfrac{\hbar^2}{2I}\dfrac{d^2\psi}{d\phi^2}=E\psi,$$ quién es $I$ y qué información física contiene.
e) Llegados a una ecuación como la anterior nos enfrentamos aun problema de una única dimensión y que solo involucra a una energía cinética. Es decir, este problema es análogo al problema de la partícula en la caja infinita potencial. Por lo tanto, ¿Cómo es la solución general? ¿De qué variable espacial dependerá las funciones de onda solución del problema?
f) ¿Qué condiciones de contorno hay que imponer? ¿Cómo quedan las soluciones de este problema?
g) Normaliza.
Para este caso:
a) Piensa sobre la situación del problema, identifica los tipos de energía que tiene la partícula y las posibles condiciones que ha de satisfacer en su movimiento.
b) Escribe la ecuación de Schrödinger en coordenadas cartesianas. ¿Esta ecuación es separable?
c) Desde el punto de vista clásico este es un movimiento circular en el plano con lo que sería adecuado traducir el problema de coordenadas cartesianas a coordenadas polares. Escribe la Ec. de Schrödinger en polares.
d) ¿Se puede llegar a escribir la ecuación de esta forma?
$$-\dfrac{\hbar^2}{2I}\dfrac{d^2\psi}{d\phi^2}=E\psi,$$ quién es $I$ y qué información física contiene.
e) Llegados a una ecuación como la anterior nos enfrentamos aun problema de una única dimensión y que solo involucra a una energía cinética. Es decir, este problema es análogo al problema de la partícula en la caja infinita potencial. Por lo tanto, ¿Cómo es la solución general? ¿De qué variable espacial dependerá las funciones de onda solución del problema?
f) ¿Qué condiciones de contorno hay que imponer? ¿Cómo quedan las soluciones de este problema?
g) Normaliza.
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