Hamiltonianos con espectro continuo y la corriente de probabilidad

En general nos encontraremos situaciones en las que el Hamiltoniano con el que calculamos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo no describe estados ligados.  Situaciones de este tipo se presentan en el estudio de la partícula libre o de procesos de dispersión de partículas entre sí o con barreras de potencial o escalones.

Según hemos estudiado para la partícula libre ocurre que las soluciones de la ecuación de Schrödinger no son normalizables.  Sin embargo, aún nos son útiles por dos motivos:

1.-  Por un lado, estas funciones nos sirven de base para describir otro tipos de estados.  Valga como ejemplo los paquetes de onda.

2.-  Por otro lado, es posible calcular la corriente de probabilidad para estas funciones no normalizables y extraer de ella un significado físico.

Recordemos que dada una función de onda $\Psi$,la supondremos de una dimensión, la corriente de probabilidad se puede escribir como:

$$J=\dfrac{\hbar}{2im}\left[\Psi^*\dfrac{d\Psi}{dx}-\Psi\dfrac{d\Psi^*}{dx}\right]$$

Compruebe que para una partícula libre dada por $\Psi(x)=A\exp(ikx)$, la corriente de probabilidad queda:

$$J=|A|^2\dfrac{\hbar k}{m}$$

¿Cómo se puede interpretar esta $J$?

Para responder a esa pregunta hemos de saber qué significa $|A|^2$ y $\dfrac{\hbar k}{m}$.