Espacio Vectorial Abstracto

Un espacio vectorial, en términos pedestres, consiste en dos conjuntos:

1. Un conjunto de vectores que representaremos por $\mathcal{H}$
2. Un conjunto numérico.

En el contexto de la mecánica cuántica los vectores vendrán representados por letras griegas, $\psi$, $\xi$, etc.  Y el conjunto numérico es el de los complejos $\mathbb{C}$, que es un cuerpo algebraico.

En el conjunto de vectores definimos una operación interna, que denominaremos suma:

$$+:\mathcal{H}\times\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}$$

Es decir, la $+$ es una operación interna en el conjunto $\mathcal{H}$.  A esta operación se le exige que:

$\left\{\mathcal{H},+\right\}$ es un grupo abeliano.  Es decir, la suma es operación interna, es asociativa, existe un elemento neutro y para cada elemento existe un opuesto.  Además, es conmutativa.

Por otra parte, tenemos una operación externa, es decir opera elementos de $\mathcal{H}$ con elementos de $\mathbb{C}$.

$$\cdot:\mathbb{C}\times\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}$$

Esta es una operación de tipo producto que tiene las siguiente propiedades:

a)  Si $\psi\in\mathcal{H}$, entonces $b\psi\in\mathcal{H}$, donde $b\in\mathbb{C}$.

Por lo tanto, las combinaciones lineales de elementos del espacio vectorial también son elementos del espacio vectorial.

b)  El producto es distributivo respecto de la suma.

c)  Es asociativo.

d)  Existe en $\mathbb{C}$ un elemento neutro, identidad, respecto al producto.  Y un elemento nulo respecto al mismo.