Espacio de Hilbert

Aquí no haremos una revisión formal de la teoría de espacios de Hilbert para la mecánica cuántica sino que daremos unas someras pinceladas sobre el hecho de que los espacios vectoriales utilizados en esta rama de la física constituyan este tipo de espacios vectoriales.

Para las aficionadas y los aficionados a las formalidades matemáticas interesados por los vericuetos de la formulación matemática de la cuántica os dejo este enlace:

Lecture Notes onHilbert Spaces and Quantum Mechanics  de N.P. Landsman Department of Mathematics, Radboud University Nijmegen.

Estas notas son una fuente excelente para entrar de lleno en las matemáticas de los espacios de Hilbert, desde la definición hasta los teoremas espectrales y algunas de sus aplicaciones.  Landsman consigue, en un texto de un tamaño asumible, transmitir todos los elementos necesarios para introducirnos en este campo matemático de amplia aplicación a la cuántica.

Nuestro objetivo, como ya he comentado, es mucho más modesto.  Vamos a dar las nociones más básicas, y no del todo rigurosas, del concepto de espacio de Hilbert y ver cómo este aparece de forma natural a la hora de estudiar sistemas cuánticos.

Espacio de Hilbert

Diremos que un espacio vectorial $\mathcal{H}$, generalmente sobre el cuerpo de los complejos $\mathbb{C}$ es un espacio de Hilbert si cumple:

a)  Tiene definido un producto interno que es definido estrictamente positivo.

Si, $\psi,\phi\in\mathcal{H}$, el producto interno se representará inicialmente por $(\psi,\phi)$.  Este producto interno da como resultado un elemento en el cuerpo de definición del espacio vectorial.  En nuestro caso:

$$(\phantom{a},\phantom{b}):\mathcal{H}\times\mathcal{H}\rightarrow\mathbb{C}$$

La definición inicial la podemos tomar como:

$$(\psi,\phi)=\psi^*\phi$$

Por lo tanto, en general, $(\psi,\phi)\neq(\phi,\psi)$.

El producto interno tiene las siguientes propiedades:

1.   $(\psi,\phi)=(\phi,\psi)^*$.  Esto se puede demostrar con la definición de productor interno y las propiedades de la conjugación compleja.
2. El producto interno es lineal en el segundo factor y antilineal en el primer factor:

$$(\psi,a\phi_1+b\phi)=a(\psi,\phi_1)+b(\psi,\phi_2)$$

$$(a\psi_1+b\psi_2,\phi)=a^*(\psi_1,\phi)+b^*(\psi_2,\phi)$$

      

       3. $(\psi,\psi)=||\psi||^2\in\mathbb{R}$ y $||\psi||^2\geq 0$, donde la igualdad solo se consigue cuando $\psi=0$.

Consideraremos que $\mathcal{H}$ es un espacio separable, que implica que podemos definir bases ortonormales contables.  En el caso de que la dimensión del espacio de Hilbert sea finito esto viene dado.  Pero un espacio de Hilbert puede ser de dimensión infinita y ahí la definición de separabilidad adquiere toda su potencia.

Nota:  En la actualidad hay discusión sobre si hay que admitir en física espacios de Hilbert no separables.  Situaciones donde aparecen espacios de este tipo se pueden encontrar en determinadas circunstancias de la teoría cuántica de campos o en algunas teorías de gravedad cuántica, como la Loop Quantum Gravity.  Para nosotros este punto no será esencial ya que todos los espacios con los que trabajaremos serán separables.

Existe un teorema donde se demuestra que todos los espacios de Hilbert de dimensión infinita separables son isomorfos entre sí.

Antes de acabar con este aperitivo escaso sobre espacios de Hilbert permitidme escribir algo un poco más formal:

Un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ con un producto interno con la propiedad de que todas las sucesiones de Cauchy con respecto a la norma inducida por el producto interno son convergentes.  Eso se traduce en que los espacios de Hilbert son completos en la norma dada por el producto interno definido.

Una sucesión $(f_n)$ es una sucesión de Cauchy en un espacio vectorial $V$ cuando $||f_n-f_m||\rightarrow 0$ cuando $n,m\rightarrow\infty$.  Es decir, para cualquier $\epsilon>0$, existe un $N\in\mathbb{N}$ tal que $||f_n-f_m||<\epsilon$ para todo $n,m>N$.  Una sucesión $(f_n)$ es convergente si existe un $f\in V$ tal que $\lim_{n\rightarrow \infty}||f_n-f||=0$.