Potencial Delta Atractiva

Supongamos que tenemos un potencial dado por:

$$V(x)=-V_0\delta(x),$$  donde $V_0>0$.

Para empezar tendremos que responder estas preguntas:

1.-  ¿Puedes responder este potencial?
2.-  ¿Ves por qué es atractivo?
3.-  ¿Qué dimensiones tiene $V_0$?

Una vez que hayan sido respondidas de forma más o menos aceptable vamos al lío con el problema.

Supongamos que la energía de la partícula es negativa $E<0$.  Ante la situación descrita esperaríamos encontrar estados ligados para este potencial que ciertamente tiende a confinar la partícula de algún modo.  Así que el problema va a girar en este momento en torno a la cuestión de cuántos estados ligados podemos encontrar y cómo son tales estados ligados.

Para ello, como siempre, empezaremos por lo obvio:

a)  Escribe la ecuación de Schrödinger para este problema.

Recuerda que en la región en la que estamos interesados podemos decir que la energía de la partícula es $-E$.

En este punto malo será que la ecuación no  contenga un término que involucre una delta.  Vamos, que la delta está en el potencial.

Pero, la delta es problemática en un punto, ellas son así, si no las integramos se ponen tontorronas y juguetean con el infinito.  Así que... ¿Cómo es la ecuación de Schrödinger para este potencial en todos los puntos que no son $x=0$?

b)  Si has llegado a la ecuación simple (fuera de $x=0$) ha llegado el momento de escribir la solución.  Pero antes piensa un poco.

Aquí estamos excluyendo un punto, el $x=0$, así que la función de onda ha de tener, en principio, dos ramas.  Una para $x<0$, que llamaremos $\psi_-$ y otra para $x>0$, que llamaremos $\psi_+$.   Para que todo vaya bien hemos de recordar también que:

• La función de onda ha de ser continua en todos los puntos, en el $x=0$ también.
• La función de onda ha de estar acotada.  Como en el caso de la caja, salvo que ahora hemos de imponer que la función se anule en... 

c)  Expresa la función de onda como una sola función (ojo que se puede descomponer en dos ramas, ya sabéis de qué tipo de funciones estamos hablando, ¿no?)

d)  Ahora hemos de afrontar la tarea de calcular la energía de los estados ligados.  Pero antes hemos de recapacitar sobre un detalle.  Aquí hemos impuesto la continuidad de la función en $x=0$ pero ¿qué pasa con la primera derivada?  ¿Es continua en ese punto?

No, no lo es.  Pero eso no es un punto flaco en este problema, de hecho, esa discontinuidad nos permite calcular la energía.  Para ello solo hay que integrar la ecuación de Schrödinger completa entre $(-\epsilon, \epsilon)$ y luego tomar los límites apropiados.

Tras lo cual hemos de llegar a la expresión:

$$E=-\dfrac{mV_0^2}{2\hbar^2},$$ es decir, solo existe una energía negativa permitida, con lo que solo tenemos un estado ligado posible.  Cualquier estado excitado serán estados desligados.

e)  Normaliza la función de onda.

 

f)  Calcula ahora la probabilidad de encontrarla entre $x=-a$ y $x=a$.