Pozo potencial cuadrado infinito

Aquí nos enfrentamos al caso de una partícula de masa $m$ sometida a un potencial del tipo:

$$V(x)=\left\{ \begin{array}{lcc}  \infty, &  x<0\\  \\ 0, & 0\leq x\leq a\\ \\ \infty, & x>a \end{array} \right.$$


Responda a las siguientes preguntas:

a)  ¿Cuál es la energía de la partícula dentro del pozo de potencial?

b)  ¿Dónde tiene sentido resolver la ecuación de Schrödinger en este caso?

c)  La ecuación a resolver es:

$$\dfrac{d^2\psi}{dx^2}+k^2\psi = 0$$

¿Quién es $k^2$?

d)  ¿Cuáles son las condiciones de contorno del problema?

e)  ¿Cuál es la solución general del problema?

f)  ¿La solución general se pude expresar del siguiente modo?

$$\psi(x)= A\sin(kx)+B\cos(kx)$$

g)  ¿Qué valores han de tener $A$ y $B$ para que se respeten las condiciones de contorno?  ¿Se pueden fijar los valores de ambas constantes?  En caso contrario, ¿cómo se podrían fijar?  ¿Qué otro efecto tienen las condiciones de contorno en la forma de las funciones de onda del sistema?

h)  ¿Es cierto que la energía del sistema es la siguiente?

$$E_n=\dfrac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2$$

i)  ¿Cómo se comporta la diferencia de energía entre dos niveles consecutivos?  ¿Qué pasa en el límite clásico cuando $n\rightarrow \infty$?

j)  ¿Cuál es el nivel fundamental del sistema?

k)  ¿Tienen nodos las funciones de onda correspondientes a diferentes valores de la energía?

l)  Repita el estudio considerando que el pozo se sitúa de forma simétrica alrededor de x=0.