Potencial V(x,y,z)=V(x)+V(y)+V(z)

Supongamos que tenemos una partícula cuántica sometida a un potencial del tipo:

$$V(x,y,z)=V(x)+V(y)+V(z),$$

1.-  Escriba la ecuación de Schrödinger general de este problema.

2.-  Descompón el Laplaciano en las derivadas segundas respecto a cada coordenada.

3.-  ¿Puedes agrupar términos que solo involucran una coordenada cada uno?

4.-  Si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa: ¿Tiene sentido en este problema decir que $E=E_x+E_y+E_z$?

5.-  Llegados a esta situación, ¿la solución $\psi(x,y,z)$ se puede expresar del siguiente modo?

$$\psi(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$$

6.-  ¿Cuántos números cuánticos esperamos en este problema? ¿Por qué?

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Aquí nos hemos enfrentado a una situación que es totalmente general.  Cuando un potencial se puede expresar como suma de términos que solo dependen de una de las coordenadas del problema y no del resto,  independientemente de que trabajemos en cartesianas, esféricas, cilíndricas u otras coordenadas, la ecuación de Schrödinger se puede resolver por el método de separación de variables.

Es decir, el problema inicial se traduce a la suma de problemas de una única dimensión.  La solución del problema total es el producto de soluciones de cada uno de los problemas en una dimensión en los que se descompone la ecuación de Schrödinger.

Este hecho será vital en algunos problemas como por ejemplo en el tratamiento del átomo de hidrógeno.