Escalón potencial -- Primer caso

Consideraremos este tipo de potencial.

$$V(x)=V_0$$ para $x\geq 0$  y cero en el resto de valores de $x$.

Supondremos que las partículas se mueven de izquierda a derecha.

Para resolver este problema hemos de considerar dos casos:

1.-  En el primer caso consideraremos que la energía de la partícula es mayor que $V_0$.
2.-  En el segundo caso consideraremos que la energía de la partícula es menor que $V_0$.

Primer caso:

$E>V_0$

1.-  Antes de hacer cuentas responde estas cuestiones:

¿Cómo se comporta la partícula en cada región identificable del problema?

Identifica las energías que tendrían en el caso clásico y describe el comportamiento esperable.

2.-  Demuestra que la ecuación de Schrödinger del problema se puede dividir en estas dos ecuaciones:

1)  $\dfrac{d^2\psi}{dx^2}+k_1^2\psi=0$   para $x<0$
2)  $\dfrac{d^2\psi}{dx^2}+k_2^2\psi=0$   para $x>0$

Identifica $k_1$ y $k_2$.

3.-  Las soluciones generales de estas dos ecuaciones son:

$\psi(x)=Ae^{ik_1x}+Be^{-ik_1x}$   para $x<0$
$\psi(x)=Ce^{ik_2x}+De^{-ik_2x}$   para $x\geq 0$

Identifica qué parte se mueven hacia la derecha y qué parte se mueve hacia la izquierda en cada solución.

4.-  La imagen física que tenemos que tener en mente es que incide una partícula inicialmente desde la izquierda.  Pero al llegar al escalón potencial en $x=0$ la partícula podrá transmitirse o reflejarse.

Con esa imagen y pensando sobre qué componentes se transmiten o reflejan, ¿Qué podemos decir de las constantes de las soluciones anteriormente presentadas?

5.-  Escriba las funciones de onda completas, incluyendo la dependencia temporal, que corresponden a este problema.

6.-  ¿Qué forma tiene la densidad de probabilidad en la parte $x\geq 0$?

7.-  Estas funciones corresponden a un Hamiltoniano que no da lugar a estados ligados, es decir, un Hamiltoniano con espectro continuo.

Por ello es interesante calcular las densidad de corriente de probabilidad para la parte incidente, reflejada y transmitida.

8.-  Una vez conocidas esas densidades de corriente de probabilidad es conveniente definir dos cocientes dos cocientes en valor absoluto.  El primero es el de la corriente reflejada entre la corriente incidente y el segundo el de la corriente transmitida entre la corriente incidente.

Eso genera dos coeficientes que llamaremos coeficiente de reflexión, $R$, y coeficiente de transmisión $T$.   Calcula y discute el significado de estos dos coeficientes.

9.-  Comprobarás que podemos dar las expresiones de los coeficientes en términos de las constantes que aparecen en las soluciones de la ecuación de Schrödinger de nuestro problema.  Ahora el punto clave es determinar esas constantes.  Para ello solo hay que aplicar las condiciones de contorno.

10.-  ¿Es necesario normalizar las funciones para calcular $R$ y $T$? ¿Por qué?

11.-  Estudia los límites de los coeficientes para bajas y altas energías.  Interpreta los resultados.